数列求和的五种方法
数学组 何东武
数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
等差数列求和公式： <!--[if !vml]-->
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等比数列求和公式： <!--[if !vml]-->
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二、倒序相加法求和
倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->+a <!--[if !vml]-->
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求证： <!--[if !vml]-->
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证明： 设 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
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又由 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->可得
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<!--[endif]-->…………..…….. ②
①+②得 <!--[if !vml]-->
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∴ <!--[if !vml]-->
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解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
三、错位相减法求和
这种方法主要用于数列 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->的前n项和，其中{a <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->}是公差为d的等差数列， <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->是公比为q的等比数列，且{b <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->}的公比不为1。
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例：求数列 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->的前n项和
解： <!--[if !vml]-->
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四、裂项求和
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。
(1) <!--[if !vml]-->
<!--[endif]--> (2) <!--[if !vml]-->
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(3) <!--[if !vml]-->
<!--[endif]--> (4) <!--[if !vml]-->
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(5) <!--[if !vml]-->
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(6) <!--[if !vml]-->
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⑺ <!--[if !vml]-->
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例：求数列 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->， <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->， <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->，…， <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->，…的前n项和S
解：∵ <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->= <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->)
Sn= <!--[if !vml]-->
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= <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->
= <!--[if !vml]-->
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解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象以上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。
五、并项求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求S <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->。
例：已知数列 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->的通项 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->求 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->.
分析：该数列的奇、偶项分别是一个等差数列和一个等比数列，而且告诉了通项公式，
故求该数列前功尽弃 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->项和可将该数列分解成两个已知数列分组求和.
解：易知 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->.
当 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->为偶数时， <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->中奇数项与偶数项各占 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->项，
所以有
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<!--[endif]-->.
当 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->为奇数时，奇数项总共有 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->项，偶数项共有 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->项，
所以有
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<!--[endif]-->虽然大部分数列的求和都需要一定的技巧，但我们利用数列的通项揭示的规律运用以上几种方法都可以对数列求和。
